计算几何中的精度问题

过去写的一篇旧文:http://wenku.baidu.com/view/b6b7ccea551810a6f52486bf.html

现在时代进步,据我所知,涉及浮点数输出一般应该有spj,坑比原来少了很多。


计算几何头疼的地方一般在于代码量大和精度问题,代码量问题只要平时注意积累模板一般就不成问题了。精度问题则不好说,有时候一个精度问题就可能成为一道题的瓶颈,简直“画龙点睛”。这些年的题目基本是朝着越来越不卡精度的方向发展了,但是也不乏一些%^&%题#$%$^,另外有些常识不管题目卡不卡,都是应该知道的。今天我就开膛回顾下见过且还有印象的精度问题,由于本人见识和记忆均有限,望各位大神瞄过后不吝补充。另外,为了弥补我匮乏的文思,我可能乱扯些不太相关或者尽人皆知的东西凑数。

计算几何的精度问题说到底其实是浮点数的精度问题,但我觉得“计算几何”比“浮点数”更能吸引眼球,所以选了这个标题。

  1. 浮点数为啥会有精度问题:

浮点数(以C/C++为准),一般用的较多的是float, double。

占字节数
数值范围
十进制精度位数
float
4
-3.4e-38~3.4e38
6~7
double
8
-1.7e-308~1.7e308
14~15

如果内存不是很紧张或者精度要求不是很低,一般选用double。14位的精度(是有效数字位,不是小数点后的位数)通常够用了。注意,问题来了,数据精度位数达到了14位,但有些浮点运算的结果精度并达不到这么高,可能准确的结果只有10~12位左右。那低几位呢?自然就是不可预料的数字了。这给我们带来这样的问题:即使是理论上相同的值,由于是经过不同的运算过程得到的,他们在低几位有可能(一般来说都是)是不同的。这种现象看似没太大的影响,却会一种运算产生致命的影响: ==。恩,就是判断相等。注意,C/C++中浮点数的==需要完全一样才能返回true。来看下面这个例子:

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
 double a = asin(sqrt(2.0) / 2) * 4.0;
 double b = acos(-1.0);
 printf(" a = %.20lf\n", a);
 printf(" b = %.20lf\n", b);
 printf(" a - b = %.20lf\n", a - b);
 printf("a == b = %d\n", a == b);
 return 0;
}

输出:

 a = 3.14159265358979360000
 b = 3.14159265358979310000
 a - b = 0.00000000000000044409
a == b = 0

我们解决的办法是引进eps,来辅助判断浮点数的相等。

  1. eps

eps缩写自epsilon,表示一个小量,但这个小量又要确保远大于浮点运算结果的不确定量。eps最常见的取值是1e-8左右。引入eps后,我们判断两浮点数a、b相等的方式如下:定义三出口函数如下:

int sgn(double a){
  return a < -eps ? -1 : a < eps ? 0 : 1;
}

则各种判断大小的运算都应做如下修正:

传统意义
修正写法1
修正写法2
a == b
sgn(a - b) == 0
fabs(a – b) < eps
a != b
sgn(a - b) != 0
fabs(a – b) > eps
a < b
sgn(a - b) < 0
a – b < -eps
a <= b< div>
sgn(a - b) <= 0< div>
a – b < eps
a > b
sgn(a - b) > 0
a – b > eps
a >= b
sgn(a - b) >= 0
a – b > -eps

这样,我们才能把相差非常近的浮点数判为相等;同时把确实相差较大(差值大于eps)的数判为不相等。PS: 养成好习惯,尽量不要再对浮点数做==判断。例如,我的修正写法2里就没有出现==。

  1. eps带来的函数越界

如果sqrt(a), asin(a), acos(a) 中的a是你自己算出来并传进来的,那就得小心了。如果a本来应该是0的,由于浮点误差,可能实际是一个绝对值很小的负数(比如1e-12),这样sqrt(a)应得0的,直接因a不在定义域而出错。类似地,如果a本来应该是±1,则asin(a)、acos(a)也有可能出错。因此,对于此种函数,必需事先对a进行校正。

  1. 输出陷阱I

这一节和下一节一样,都是因为题目要求输出浮点数,导致的问题。而且都和四舍五入有关。说到四舍五入,就再扯一下相关内容,据我所知有三种常见的方法:

    1. printf(“%.3lf”, a); //保留a的三位小数,按照第四位四舍五入
    2. (int)a; //将a靠进0取整
    3. ceil(a); floor(a); //顾名思义,向上取证、向下取整。需要注意的是,这两个函数都返回double,而非int

现在考虑一种情况,题目要求输出保留两位小数。有个case的正确答案的精确值是0.005,按理应该输出0.01,但你的结果可能是0.005000000001(恭喜),也有可能是0.004999999999(悲剧),如果按照printf(“%.2lf”, a)输出,那你的遭遇将和括号里的字相同。解决办法是,如果a为正,则输出a+eps, 否则输出a-eps

典型案例: POJ-2826

  1. 输出陷阱II

ICPC题目输出有个不成文的规定(有时也成文),不要输出: -0.000那我们首先要弄清,什么时候按printf(“%.3lf\n”, a)输出会出现这个结果。直接给出结果好了:a∈(-0.000499999……, -0.000……1)所以,如果你发现a落在这个范围内,请直接输出0.000。更保险的做法是用sprintf直接判断输出结果是不是-0.000再予处理。

典型案例:UVA-746

  1. 范围越界

这个严格来说不属于精度范畴了,不过凑数还是可以的。请注意,虽然double可以表示的数的范围很大,却不是不穷大,上面说过最大是1e308。所以有些时候你得小心了,比如做连乘的时候,必要的时候要换成对数的和。

典型案例:HDU-3558

  1. 关于set<T>

有时候我们可能会有这种需求,对浮点数进行 插入、查询是否插入过 的操作。手写hash表是一个方法(hash函数一样要小心设计),但set不是更方便吗。但set好像是按==来判重的呀?貌似行不通呢。经观察,set不是通过==来判断相等的,是通过<来进行的,具体说来,只要a<b 和 b<a 都不成立,就认为a和b相等,可以发现,如果将小于定义成:

bool operator < (const Dat dat)const{return val < dat.val - eps;}

就可以解决问题了。 (基本类型不能重载运算符,所以封装了下)

  1. 输入值波动过大

这种情况不常见,不过可以帮助你更熟悉eps。假如一道题输入说,给一个浮点数a, 1e-20 < a < 1e20。那你还敢用1e-8做eps么?合理的做法是把eps按照输入规模缩放到合适大小。

典型案例: HUST-1361

  1. 一些建议

容易产生较大浮点误差的函数有asin、 acos。欢迎尽量使用atan2。另外,如果数据明确说明是整数,而且范围不大的话,使用int或者long long代替double都是极佳选择,因为就不存在浮点误差了(尽管我几乎从来都只用double --!)内容有误或其他遗漏内容的,过路大神们请不吝赐教~

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我于2014.10从Android叛变开始使用iPhone 6 Plus。时至今日,由于iOS 11的荼毒,6p已经不能正常用于各种日常操作了。无论是拿着扫码枪的焦急的收银员,还是不知是好是坏的ofo,等待他们的永远都有十秒左右的STW。刚好双11各种网站iPhone大促,iPhone X没啥活动,8却有不少折扣。我用惯了5.5',也出于续航考量,就在京东下手了一个8p。使用几天下来,分享一下从6p切换过来的心得。 重量尺寸 6p重量是172g,8p重量是202g,涨幅17.4%; 6p厚度是7.1mm,8p厚度是7.5mm,涨幅5.6%; 刚拿在手上的第一刻是不接受的。还好多日使用后,也就习惯了。 耳机 最操蛋的就是3.5mm耳机孔没有了,虽然送了一个"3.5mm座转Lightning头"的的转接器,然而卵用并不大。首先插拔那个3.5mm转接器的力道相当紧,两边线又非常柔弱,肯定不能经常插拔。

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